2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(新課標(biāo)II卷)
數(shù)學(xué)
本試卷共10頁,19小題,滿分150分.
注意事項:
1.答題前,先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上,并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3.填空題和解答題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
4.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并上交.
一、單項選擇題:本大題共 8 小題,每小題 5 分,共 40 分. 在每小題給出的四個選項中,只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.
1. 已知,則( )
A. 0 B. 1 C. D. 2
2. 已知命題p:,;命題q:,,則( )
A. p和q都是真命題 B. 和q都是真命題
C. p和都是真命題 D. 和都是真命題
3. 已知向量滿足,且,則( )
A. B. C. D. 1
4. 某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻,得到各塊稻田的畝產(chǎn)量(單位:kg)并部分整理下表
畝產(chǎn)量 | [900,950) | [950,1000) | [1000,1050) | [1100,1150) | [1150,1200) |
頻數(shù) | 6 | 12 | 18 | 24 | 10 |
據(jù)表中數(shù)據(jù),結(jié)論中正確的是( )
A. 100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg
B. 100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%
C. 100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間
D. 100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間
5. 已知曲線C:(),從C上任意一點P向x軸作垂線段,為垂足,則線段中點M的軌跡方程為( )
A. () B. ()
C. () D. ()
6. 設(shè)函數(shù),,當(dāng)時,曲線與恰有一個交點,則( )
A. B. C. 1 D. 2
7. 已知正三棱臺的體積為,,,則與平面ABC所成角的正切值為( )
A. B. 1 C. 2 D. 3
8. 設(shè)函數(shù),若,則的最小值為( )
A. B. C. D. 1
二、多項選擇題:本大題共 3 小題,每小題 6 分,共 18 分. 在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求. 全部選對得 6 分,選對但不全的得部分分,有選錯的得0分.
9. 對于函數(shù)和,下列正確有( )
A. 與有相同零點 B. 與有相同最大值
C. 與有相同的最小正周期 D. 與的圖像有相同的對稱軸
10. 拋物線C:準(zhǔn)線為l,P為C上的動點,過P作的一條切線,Q為切點,過P作l的垂線,垂足為B,則( )
A. l與相切
B 當(dāng)P,A,B三點共線時,
C. 當(dāng)時,
D. 滿足的點有且僅有2個
11. 設(shè)函數(shù),則( )
A 當(dāng)時,有三個零點
B. 當(dāng)時,是的極大值點
C. 存在a,b,使得為曲線的對稱軸
D. 存在a,使得點為曲線的對稱中心
三、填空題:本大題共 3 小題,每小題 5 分,共 15 分.
12. 記為等差數(shù)列的前n項和,若,,則________.
13. 已知為第一象限角,為第三象限角,,,則_______.
14. 在如圖的4×4方格表中選4個方格,要求每行和每列均恰有一個方格被選中,則共有________種選法,在所有符合上述要求的選法中,選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是________.
四、解答題:本題共 5 小題,共 77 分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 記的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知.
(1)求A.
(2)若,,求的周長.
16. 已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;
(2)若有極小值,且極小值小于0,求a的取值范圍.
17. 如圖,平面四邊形ABCD中,,,,,,點E,F(xiàn)滿足,,將沿EF對折至,使得.
(1)證明:;
(2)求面PCD與面PBF所成的二面角的正弦值.
18. 某投籃比賽分為兩個階段,每個參賽隊由兩名隊員組成,比賽具體規(guī)則如下:第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次,若3次都未投中,則該隊被淘汰,比賽成員為0分;若至少投中一次,則該隊進(jìn)入第二階段,由該隊的另一名隊員投籃3次,每次投中得5分,未投中得0分.該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和.某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成,設(shè)甲每次投中的概率為p,乙每次投中的概率為q,各次投中與否相互獨立.
(1)若,,甲參加第一階段比賽,求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率.
(2)假設(shè),
(i)為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大,應(yīng)該由誰參加第一階段比賽?
(ii)為使得甲、乙,所在隊的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大,應(yīng)該由誰參加第一階段比賽?
19. 已知雙曲線,點在上,為常數(shù),.按照如下方式依次構(gòu)造點,過作斜率為的直線與的左支交于點,令為關(guān)于軸的對稱點,記的坐標(biāo)為.
(1)若,求;
(2)證明:數(shù)列是公比為的等比數(shù)列;
(3)設(shè)為的面積,證明:對任意的正整數(shù),.
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